A modo de introducción histórica, diremos que la expresión

 

fué acuñada en primer lugar por Pierre-Simon Laplace en 1782. Su utilización dentro dela técnica se debe en su forma rigurosa a Thomas Bromwich, el cual formalizó utilizandolas funciones de variable compleja y la Transformada de Laplace un cálculo operacionalinventado por Oliver Heaviside para la resolución de circuitos eléctricos.

Vamos a desarrollar un tema sobre la Transformada de Laplace y su aplicación a la resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes.

Una de las principales aplicaciones de la transformada de Laplace es la de resolver ED lineales con condiciones iniciales.
El método es esencialmente simple y puede ser descrito en los siguientes pasos.

1. Aplicar la transformada en ambos miembros de la ED

2. Utilizar las propiedades de la transformada para que solo quede en términos de L{y(t)} y despejarla. Lo que se obtiene recibe el nombre de ecuación algebraica o subsidiaria.

3. Aplicar la transformada inversa para despejar y(t)

 

Estas ecuaciones surgen de manera natural en el contexto de los circuitos eléctricos.

Consideremos por ejemplo el típico circuito LRC de la figura

 

donde la inductanciaL, la resistenciaRy la capacidad de condensadorCse consideranconstantes. Se tiene entonces que la cargaq(t)que circula por el circuito está dada por la ecuación 

 

y dado que la intensidad I(t) es la derivada de la carga, ésta puede calcularse por la ecuación

 

o equivalentemente con la ecuación diferencial

 

en el caso en queV(t)sea una función derivable.

Una aproximacion a la solucion del problema de ecuaciones diferenciales

La Transformada de Laplace es una herramienta útil para resolver ecuaciones y sistemasde ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. Como comentamos en la introducción del tema, estas ecuaciones aparecen de forma natural en la teoría de circuitos eléctricos. Para ilustrar el método, consideremos el siguiente ejemplo: la ecuación

   junto con las condiciones iniciales

 
Básicamente se trata de aplicar la Transformada de Laplace y sus propiedades a la ecuacion planteada teniendo en cuenta las condiciones iniciales, nuestro problema se convierte en el problema algebraico

donde resolviendola algebraicamente se tiene

 

Una vez obtenida L[y], hemos de usar la Transformada inversa para volver atrás y recuperarla solución del problema y. 

Aplicando los diferentes teoremas y propiedades aprendidas en la tranformada inversa de laplace vamos a encontrar la solucion al problema planteado.

 Una aplicación concreta

 

y las ecuaciones del mismo son

 

de donde teniendo en cuenta las condiciones iniciales y tomando la Transformada de Laplace obtenemos 

 

Despejando L[i2] en función de L[i1] en la primera ecuación y sustituyendo en la segundatenemos que

 

por lo que tomandola Transformada de Laplace inversa 

 

Observamos que la función i1 es creciente si t≥0 y que i1(2)≈0.106A, por lo que el valor L=1H es perfectamente válido en el diseño del circuito.

 

http://www.dmae.upct.es/~jose/varcomp/ctrans.pdf

https://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/laplace/sol-ed.htm

https://es.khanacademy.org/math/differential-equations/laplace-transform/laplace-transform-to-solve-differential-equation/v/laplace-transform-to-solve-an-equation?modal=1